Number puzzles before the log fire, being those given in the Number stories of long ago — 炉辺の数のパズル――『むかしの数の物語』所収問題と解答

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炉辺の数のパズル『むかしの数の物語』所収問題と解答デイヴィッド・ユージン・スミス 著1919年、Ginn and Company（ボストン）刊原題：Number Puzzles Before the Log Fire: Being Those Given in the Number Stories of Long Ago 2本書について本書は、デイヴィッド・ユージン・スミスが1919年に刊行した小冊子の全訳である。著者の児童向け著作 Number Stories of Long Ago（『むかしの数の物語』）第9章・第10章に解答なしで掲げられた数のパズルを、問題と解答の一覧として簡潔に書き直して収めている。パズルの着想そのものは著者の創作ではなく、古代ギリシア以来の歴史的資料から選ばれたものだと序文に明記されている。本日本語版は、そうした古典的な着想と、スミスが1919年の小冊子で施した問題文・解説の表現とを区別し、後者を翻訳対象としている。使用原本は Internet Archive 所蔵の1919年版である。著者本文（標題、序文、本文1–14ページ）を収録し、巻末の出版社広告、後世の図書館貸出票、スキャン管理用ページは本文外資料として除外した。本文中のページ参照は、原著 Number Stories of Long Ago のページを指す。AI翻訳について本書はAIを用いて英語原文から翻訳しています。原文と照合しながら、日本語で学びやすい形に整えていますが、翻訳の正確さを完全に保証するものではなく、誤訳や不自然な表現が残る場合があります。あらかじめご了承ください。原著の注釈と、日本語版で補った編集上の注釈は、区別して掲載しています。3序文著者の『むかしの数の物語』では、これらの数のパズルを解答なしで掲げた。小学校の児童に向けてあの小著を準備したとき、本文中で説明を加えれば、パズルのおもしろさの多くが失われると考えたからである。しかし、すべての問題の解答は、どこかで利用できるようにしておくべきことも明らかである。そのために、この小冊子を用意した。『むかしの数の物語』第9章と第10章に載せたパズルをここに再録したが、当然の理由から、まったく同じ言い回しにはしていない。子どもに物語を聞かせる場合には長くせざるをえない説明も、問題と解答だけの一覧を作るときには、適切に縮めることができる。

デイヴィッド・ユージン・スミス5炉辺の数のパズル原著『むかしの数の物語』99ページどんな数でもよい。たとえば3827を取り、その数字を2783のように並べ替えてから、二つの数の差を求める。その差は必ず9で割り切れる。理由は、どんな数でも、それを9で割った余りは、その各桁の和を9で割った余りと同じだからである。したがって、桁の順序を好きなように変えても、一方の数からもう一方を引けば、この余りはちょうど相殺される。原著100ページあなたが4桁の数を一つ書けば、私がその下に一つの数を書く。すると二つの数の和は9999になる。やり方は、各桁を9から引くだけである。たとえばあなたが4726と書いたなら、私は5（9−4）、2（9−7）、7（9−2）、3（9−6）と書く。私の数は5273となり、和は9999になる。あなたが二つの数を書けば、私は5273を書いたのと同じ方法で二つの数を書く。その総和は2×9999、すなわち19,998である。同じように、あなたが三つの数を書けば、私も三つの数を書き、総和は3×9999、すなわち30,000−3＝29,997となる。以下も同様である。6原著101ページ74,289の右にどの数字を付け加えれば、11で割り切れる数になるだろうか。答えは6で、数は742,896となる。これは、算術の次の法則を使って求められる。奇数位の数字の和と偶数位の数字の和との差が0または11の倍数なら、その数は11で割り切れる。74,289では、奇数位の数字の和（9＋2＋7）は18であり、偶数位の数字の和（8＋4）は12である。その差は18−12＝6だから、18−18＝0となるように6を右に付け加えればよい。742,896は、各桁の和（7＋4＋2＋8＋9＋6＝36）が9で割り切れるので、9でも割り切れる。9で割り切れるため3でも割り切れる。末尾が偶数なので2でも割り切れる。2、3、9、11で割り切れるから、2×3、2×9、2×11、3×9、3×11などの積でも割り切れる。原著102ページ一つの数を思い浮かべ、それを2倍し、18を足し、その結果を2で割り、最初の数を引く。答えは必ず9になる。生徒が少し代数を知っていれば、説明はごく簡単になる。最初の数を x とすれば、(2x＋18)÷2−x＝9 7となり、x がどんな値でも成り立つ。説明は児童向けでないかもしれないが、それでもパズルのおもしろさは変わらない。

Ten fingers have I; on each hand Five; and twenty on hands and feet.すなわち、「指は10本。片手に5本、両手両足の指は20本」となる。奇数の数字だけを使って、偶数を書け。方法はいくつもある。たとえば 3 3/3（＝4）、5 5/5（＝6）などである。0を使わずに100を書け。いろいろな方法がある。たとえば99 9/9、ローマ数字のC、英単語の hundred である。原著105ページ18×37、21×37、24×37、27×37の積を、簡単な形で書け。『むかしの数の物語』105ページの計算から、次のことがわかる。18×37＝666、 6＋6＋6＝18 21×37＝777、 7＋7＋7＝21 24×37＝888、 8＋8＋8＝24 9 27×37＝999、 9＋9＋9＝27原著106ページ28×15,873、35×15,873、42×15,873、49×15,873の積を、簡単な形で書け。28＝4×7、35＝5×7などであることに気づき、105ページの結果を参照すると、次のようになる。28×15,873＝444,444 35×15,873＝555,555 42×15,873＝666,666 49×15,873＝777,777ここから、888,888を得るには15,873を8×7、すなわち56倍し、999,999を得るには9×7、すなわち63倍すればよいことがわかる。原著107ページ「一万二千、十二百、十二」を数字で書け。これらを別々に書けば、12,000、1,200、12となる。足すと13,212になるが、もちろん誰もこれを「一万二千、十二百、十二」とは読まない。「一万一千、十一百、十一」と書こうとしても同じ問題が起こる。算術では、このような場合、英語の and はふつう省略される。原著108ページsix dozen dozen と a half dozen dozen では、どちらが大きいか。

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six dozen dozen は6×12×12であるが、a half dozen dozen は6×12にすぎない。six から nine を、nine から ten を、forty から fifty を取り去り、残りが six になることを示せ。ローマ数字で、SIX から IX を取ると S、IX から X を取ると I、XL（40）から L（50）を取ると X が残る。これらを並べればSIX となる。これは数の減算ではなく、綴りとローマ数字を使った文字遊びである。原著110ページ1から9までの九つの数字と算術記号だけを使って、100を書け。同書110ページのもの以外にも、いろいろな方法がある。たとえば、74＋25＋3/6＋9/18＝100 95＋4＋38/76＋1/2＝100 98＋1＋3/6＋27/54＝100原著111ページ各桁の積の2倍に等しい2桁の数を求めよ。36である。36＝2×3×6だからである。高さ10フィートの柱を登るカタツムリが、毎日3フィート登り、毎晩2フィートずり落ちる。頂上に着くまで何日かかるか。8日である。2日目の初めには地面から1フィート、3日目の初めには2フィートの高さにいる。このように進み、8日目の初めに11は7フィートの高さにいる。ところが8日目の日中にさらに3フィート登るので、頂上に着く。次の掛け算が正しくなるように、文字を数字に置き換えよ。ICC INU× IN × NU

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NTT LNUICC NUS

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IANT OINU鍵となる語を INOCULATES とし、順に 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 を対応させればよい。原著112ページ次の割り算が正しくなるように、文字を数字に置き換えよ。EMA MT MA ) UEMA EMA ) UUSS MA MAS

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TM OSSAS IAS

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EMA ASEMA───鍵となる語を EMULATIONS とし、順に 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 を対応させればよい。あるスイカの重さは、そのスイカ自身の重さの4/5と、4/5ポンドを合わせたものに等しい。スイカは何ポンドか。12 4ポンドである。4ポンドの4/5に4/5ポンドを足すと、5ポンドの4/5、すなわち4ポンドになる。ニシン1匹半が1セント半なら、ニシン1ダース半はいくらか。ニシン1 1/2ダースの代金は1 1/2ダース・セント、すなわち18セントである。9を四つだけ使って19を書け。9＋9＋9/9＝19 9を四つだけ使って2を書け。9/9＋9/9＝2原著113ページ9を四つだけ使って20を書け。9＋99/9＝20瓶とコルクを合わせて1ドル10セントで、瓶はコルクより1ドル高い。それぞれいくらか。瓶は1ドル5セント、コルクは5セントである。金1ポンドと羽毛1ポンドでは、どちらが重いか。羽毛1ポンドのほうが重い。金はトロイ衡で量り、その1ポンドは常衡の1ポンドより軽いからである。鉛1ポンドと羽毛1ポンドなら重さは同じである。トロイ衡の1ポンドは5,760グレーン、常衡の1ポンドは7,000グレーンである。13長さ50ヤードの布を1ヤードずつに切る。1回切るのに1分かかるなら、何分かかるか。49ヤード分を切り離すのに49分かかり、残る1ヤード、すなわち50番目の1ヤードは切る必要がない。一反の布の1/10を切り取ったところ、商人の手元に100ヤード残った。初めは何ヤードあったか。初めは111 1/9ヤードあった。原著114ページ一辺1/4インチの正方形を何枚並べれば、一辺1インチの正方形になるか。4×4、すなわち16枚である。一辺1/4インチの立方体を何個並べれば、一辺1インチの立方体になるか。4×4×4、すなわち64個である。同じ重さのリンゴ3/4個と3/4オンスが、リンゴ1個とちょうど釣り合う。リンゴ1個は何オンスか。3オンスである。3オンスは、3オンスの3/4に3/4オンスを足したものに等しいからである。父親二人と息子二人が、リンゴ三個を分け、一人がちょうど一個ずつ受け取った。どうして可能なのか。14三人がジョーンズ氏、その息子、その孫だったとする。この集まりには父親が二人、息子も二人いるが、人数は三人だけである。

一人が7セント、もう一人が1セントを受け取るべきである。各人は8個のパンの1/3、すなわち2 2/3個を食べた。5個を出したアラブ人が客に与えたのは5−2 2/3＝2 1/3個であり、2 1/3＝7/3である。3個を出したアラブ人が客に与えたのは3−2 2/3＝1/3個である。したがって一人はもう一人の7倍を与えたので、代金も7倍受け取るべきである。ある男が、三つの輪からなる鎖を五本持っていた。それらを一本の鎖にする料金を鍛冶屋に尋ねた。鍛冶屋は、輪を一つ切る16のに2セント、輪を一つ溶接してつなぐのに2セントもらうと言った。料金はいくらか。12セントである。五本目の鎖を成す三つの輪をすべて切り、その三つを残る四本の鎖の間にはめればよい。切る輪が三つ、溶接する輪が三つになる。原著120ページ1、6、8を並べて3桁の数を作り、それが9でちょうど割り切れるようにするにはどうすればよいか。168の6を上下逆さにして9にし、198とする。チェスが発明されたとき、ペルシアの王は大いに喜び、王国のすべての神殿にチェス盤を置くよう命じた。そして発明者に「望むものを何でも申せ」と言った。発明者は答えた。「王よ、チェス盤の最初の升には小麦を一粒、二番目には二粒、三番目には四粒と置き、その後も毎回二倍にして、64の升すべてを満たしてください。」何粒必要だろうか。1、2、4、8……と64個の数を足せば求められる。代数を使えば、もっと短く計算できる。2^64−1＝18,446,744,073,709,551,615 17原著121ページある男が鍛冶屋に馬の蹄鉄を打ってほしいと頼んだ。鍛冶屋は、最初の釘を1セント、二本目を2セント、三本目を4セント、四本目を8セントとし、その後も毎回二倍の料金を払うなら引き受けると言った。釘は24本必要だった。蹄鉄を打つ費用はいくらか。足し算でも求められる。代数を使えば、もっと短く計算できる。2^24−1＝16,777,215セントドルに直すと167,772ドル15セントである。原著122ページ少女が卵のかごを運んでいたところ、馬を走らせていた男がかごにぶつかり、卵を全部割ってしまった。弁償しようとして、男は卵が何個あったか尋ねた。少女は数を知らなかったが、二個ずつ数えると一個余り、三個ずつでも一個余り、四個ずつでも一個余ったが、五個ずつ数えると余りがなかったことを覚えていた。卵はいくつあったか。25個である。

11 1/9分のあいだにそれぞれが進む距離を計算しても、容易に確かめられる。19原著126ページ砂糖10個を三つのカップに分け、どのカップにも奇数個入っているようにせよ。一つのカップに7個、別のカップに3個を入れ、そのどちらかのカップを三つ目のカップの中に入れる。箱にリンゴが六個ある。リンゴを切らずに六人の少年へ同じ数ずつ分け、しかも箱にリンゴを一個残せ。五人の少年に一個ずつ渡し、残る少年には、最後のリンゴが入った箱を渡す。ある男が、自分が買ったのと同じ5,000ドルで農場を売り、次に4,500ドルで買い戻し、さらに5,500ドルで売った。利益はいくらか。1,000ドルである。初めに5,000ドルの農場を持っていた。支出は5,000ドル（農場）＋4,500ドル、収入は5,000ドル（農場）＋5,500ドルである。したがって総支出は9,500ドル、総収入は10,500ドルとなる。原著127ページ8倍すると20になる、二つの数字からなる数は何か。答えは5/2である。六と六が十一になることを示せ。20ローマ数字のVIを上下逆さにし、その上にVIを重ねるとXIに見えるようにする。これは字形を利用した図形的なパズルである。四と四が九になることを示せ。ローマ数字のIVを上下逆さにし、その上にIVを重ねるとIXに見えるようにする。これも字形を利用した図形的なパズルである。三人の兄弟が四個のリンゴを分けた。一人がほかの者より多くは持たず、リンゴは一個も切らなかった。どうして可能だったのか。一人に二個、残る二人に一個ずつ与える。すると「ほかの者たち」二人の合計より多く持つ者はいないが、一人は残る各人より多く持っている。これは表現の取り方を利用した問題である。原著128ページ18の半分が10になることを示せ。18の中央に水平線を引き、上下どちらの半分も、当時の字形で10に見えるようにする。これは印刷字形を使った視覚的なパズルである。上下逆さにしても同じになる数は何か。紙から離さずに69を180度回すと、再び69になる。96、6969、9696などでもよい。21原著129ページビー玉を十一個用意し、五個を取り去り、三個を加えると、答えは八になる。取り去った5個のほうに3個を加えれば、8個になる。原著131ページ長さ60ヤードの布を1ヤードずつに切る。1回切るのに1分かかるなら、何分かかるか。59分である。60番目の1ヤードは切る必要がない。

住民の人数と同じだけの靴が必要である。片脚の人々は一人につき靴を一つ履く。残りの住民の半分が裸足なら、それは残りの住民全員が一人につき靴を一つ履くのと同じ数である。したがって、問題の条件どおり町の人々に靴を行き渡らせるには、住民一人あたり一つに相当する靴が必要になる。3パーセントはほかの割合でもよく、人口が何人でも違いはない。答えは常に、その町の人数と同じ数の靴である。「質問箱」の残りのパズルは、本文で示したパズルから十分明らかである。23本プロジェクトについて「パブリックドメインAI翻訳プロジェクト」は、著作権の保護期間を終えた海外のマジックの古典的名著を、日本語で学びやすい形で届けるための取り組みです。古典には、今の演技にも活かせる知識や工夫が数多く記されています。しかし、言葉の壁や資料の入手の難しさから、十分に読まれないままになっているものもあります。そうした知識を次の世代へ伝え、マジックを学ぶ楽しさを広げたいと考えています。「演じるためのマジックショップ」を掲げるストレートマジックショップの社会貢献活動の一環として、AIを活用して翻訳し、原文との照合・校正を行いながら、日本語で読める資料を制作しています。本プロジェクトの運営費は、ストレートマジックショップの売上より捻出しています。活動の趣旨や目的にご賛同いただける方は、本店およびSpotLight店のご利用を通じてご支援いただけますと幸いです。24ご利用・お問い合わせ本翻訳プロジェクトは、マジックの楽しさを広めることを目的としています。公開された日本語版は、ご自身での勉強はもちろん、各種教室やサークル活動などの非営利活動においても、ご自由にご利用ください。営利活動・商用利用については、下記の窓口へお問い合わせください。この利用案内は、本プロジェクトが制作・提供する日本語版を対象としています。各種アプリで検索できる文字情報入りPDF版は、有償にてダウンロード可能となっています。訳文へのお気づきの点、本書の利用、その他のお問い合わせは、下記のメールアドレスへお寄せください。